| О природе математики |
[Июн. 1, 2009|09:28 pm] |
Если вы уже читали недавнюю новую работу Пенроуза, то наверное обратили внимание на то, сколько внимания в работе, посвящённой популярному изложению известных фундаментальных законов вселенной, уделяется основам математики. Пенроуз позиционирует себя как платонист, признавая реальность идеальных математических объектов, которая некоторым "мистическим" образом соотносится с грубой реальностью физического мира.
На мой же взгляд, математика есть ничто иное как обычное знание о самых общих свойствах всего. Вообще всего что только существует или что может быть придуманно. Но, в рамках окружающей нас реальности, в окружающих нас физических законах и благодаря особенностям нашего собственного восприятия, в существующих масштабах и в существующей среде.
Законы математики не существуют отдельно от агента, придумывающего их. Они так же не существуют и отдельно от среды, в которой находится этот агент. Законы математики выводятся из законов этой среды, отражая в себе фундаментальные свойства самой физической среды. В математике так же существует и отпечаток "наблюдателя", который воспринимает реальность "определённым образом", описывая её "определённым языком".
Таким образом, математика относительна и, возможно на планете X у существ Y совершенно иные простые числа. |
|
|
| Простые числа |
[Май. 28, 2009|05:27 pm] |
Интересно, какого рода информация о свойствах физического мира может быть заключена в простых числах?
Простые числа заключают в себе информацию о равномерном делении количеств. Некоторые целые числа невозможно разделить на одинаковые доли с более чем одним элементом в каждой. Если бы все возможные целые числа были составными, скорее всего в физическом мире тогда бы отсутствовала некоторая устойчивость, по крайней мере в доступном наблюдениям масштабе. Поэтому за объяснением их природы стоит обратить внимание на само понятие "количество" - откуда оно берётся и с чем взаимосвязанно.
Простые чила могут быть в таком случае следствием свойств устойчивого макро-мира и их свойства возможно зависят от свойств устойчивых материальных элементов - элементарных частиц. По крайней мере, это минимальные элементы из которых образуется любая система ассоциируемая с количеством.
|
|
|
| Pi Day |
[Мар. 13, 2009|11:54 pm] |
Поздравляю всех друзей со светлым праздником Пи. Ежегодно 14 марта в 15:92 в разных частях света стартуют шумные пати.
 |
|
|
| Построение графика значений дзета-функции Римана на критической полосе |
[Фев. 13, 2009|08:41 pm] |
Всё очень просто. Критическая полоса, это вертикальная линия через точку 0.5+0j.
Из точки 0.5+0j идём небольшими одинаковыми d_i шажками вверх по мнимой части. Сам ряд, которым описывается дзета функция, для значений аргумента менее единицы не сходится, поэтому дзета функцию с помощью разнообразных триков преобразуют к иному виду. В таком виде она описывается через ряд Nu, который сходится при любых значениях аргумента. Естественно, что рано или поздно значения функции будут отличаться от теоретических, т.к. бесконечная сумма описывается конечными значениями аргументов.
zeta = Nu / (1 - (1/2**(s-1)))
for i in xrange(2, iters):
sign = - (-1) ** i
sum += sign * (1/i**s)
zeta = sum / (1.0 - (1.0/2**(s - 1.0)))
Нули этой функции будут видны явно прохождением значения функции через точку 0+0j на комплексной плоскости.
Гипотеза Римана заключается в том, что все нетривиальные нули дзета функции имеют действительную часть, равную 0.5. Доказательства до сих пор не представленно и поэтому миллион долларов ждёт своего часа :)
Имхо конечно, но проблема не самая интересная :( |
|
|
| Как увидеть себя в телескоп |
[Окт. 1, 2008|09:38 am] |
Возможно, что однажды можно обнаружить галактику Млечный Путь на огромном расстоянии от нашей галактики.
Если пространство есть топологически замкнутый 3-манифолд, то существует по крайней мере вероятность, что свет, однажды покинув пост наблюдателя, вернётся назад. Такое пространство визуально представить себе невозможно, но по аналогии с замкнутыми 2-манифолдами, можно представить себе например передачу сигнала по поверхности сферы или тора.
Топология физического пространства вызывается законами сохранения и свойствами взаимодействия материи-поля. Например, можно описать некоторое метрическое пространство и индуцировать в нём некое топологическое пространство только за счёт описания функций изменения дистанций. Таким образом, топологию пространства определяет динамика в отношениях метрик. |
|
|
| Топология в помощь Информатике |
[Сент. 3, 2008|01:24 pm] |
Интересно, можно ли с помощью известных законов физики, топологических теорем и методов, вывести границы максимальной производительности алгоритмов, параллельных решений, вообще фундаментальные барьеры любых практических вычислений?
Мы ведь существуем в определённой физической среде с определёнными ограничениями - будь то топология пространства-времени, разнообразие взаимодействий, конечная скорость передачи сигнала, законы сохранения.
Думаю, именно топология даст ответ на всех волнующий вопрос: P = NP ?
С другой стороны, большинство проблем не решаемы в принципе с помощью всех известных вычислительных моделей.
С третьей стороны, может быть в Хаосе зарыты самые значимые ответы.
Кстати, сколько всего сторон?
:) |
|
|
| Задача о поверхности сферы |
[Авг. 26, 2008|03:35 pm] |
Хотелось бы узнать ответ на такой простой вопрос:
Дана обычная сфера в евклидовом пространстве R³.
Можно ли разделить поверхность сферы на одинаковые многоугольники?
Интутивно чувствую, что на пяти- или шести- угольники должно быть возможно. А как насчёт треугольников?
Каким должно быть распределение точек вершин этих многоугольников на поверхности сферы? (Интересен алгоритм)
Интересует прежде всего огромное количество многоугольников с минимально-возможным количеством вершин у каждого.
|
|
|
| Простая геометрическая задача |
[Июн. 27, 2008|12:15 pm] |
Требуется написать программу, которая способна генерировать похожие на следующую картинки.
 |
|
|
| Почему |R|=|R²|=|C| |
[Июн. 12, 2008|11:58 pm] |
Прочёл недавно одно интересное доказательство, по красоте и простоте сравнимое с Канторовским диагональным методом.
Satz. Бесконечное множество реальных чисел R и бесконечное множество упорядоченных пар реальных чисел R² имеют одно и то же число элементов.
Beweis. Докажем что множество всех пар вида (x,y) где x лежит в интервале (0,1] и y лежит в интервале (0,1] отображается биективно на интервал (0,1]. Представим каждый x и y следующим образом. Мантисса каждого из чисел представленная в двоичном виде разбивается на группы таким образом, что каждая группа начинается с нуля и заканчивается единицей (первая группа может начаться с единицы). Пример:
Пусть x=0.110110100110000111101... тогда разбиваем его мантиссу на следующие группы:
x'=0.11|011|01|0011|00001111|01|...
После этого соединяем x' и y' в число z' таким образом: после n-ной группы из x' всегда следует n-ная группа из y'. Пример:
x'=0.1|01|001|...
y'=0.01111|0011|01|...
z'=0.1|01111|01|0011|001|01|...
z=0.10111101001100101...
теперь мы видим, что из полученного числа z аналогичным образом только наоборот можно построить два исходных числа x и y. Таким образом, |R|=|R²|
.
Круто? Из этого так же следует, что множество комплексных чисел и множество реальных чисел имеют одинаковое количество элементов. То есть обладают одинаковой мощностью, возможно равной алефовой единице. |
|
|
| Математика планеты X |
[Июн. 3, 2008|05:09 pm] |
Человеку присуще делить всё воспринимаемое на отдельные, функционально независимые сущности, оперируя в процессе мышления объектами, ( Read more... ) |
|
|
| Границы восприятия |
[Май. 3, 2008|12:19 pm] |
Иногда кажется что сложность мира выше сложности любого возможного наблюдателя и все попытки редуцировать сложность, отобразить её на модели создаваемые наблюдателем, приводят к мало-согласующимся с действительностью прогнозам.
С другой стороны, любые изменения реального мира происходят с различной скоростью, в разных пространственных масштабах, с различными массами. Маленький, быстрый наблюдатель чувствует себя при этом неплохо в относительно медленном макро-мире. Микро-мир такому наблюдателю даётся гораздо труднее.
Есть конечно некоторое универсальное средство редукции информации, а именно "законы", "ограничения", "вероятности". Сама возможность строить модели и делать прогнозы обязана своим существованием наличию общих свойств во всём воспринимаемом. Отчасти однако это "общее" есть следствие механизмов восприятия и переработки информации внутри наблюдателя, что и приводит к трудностям и парадоксам в изучении скажем микро-миров, как и при попытках делать всеобщие заключения о "всём сущем", не вводя никакие ограничения.
Несложно увидеть, что сами "общие свойства" всего воспринимаемого несут на себе отпечаток наблюдателя, воспринимающего в определённом пространственном масштабе процессы с определённой скоростью изменений.
Например, математика это язык, точнее множество специализированных языков. Математика описывает общие закономерности воспринимаемой реальности. Такими языками удобно и кратко описываются многие закономерности реального и воображаемых миров. Однако бесполезно пытаться описывать такими языками сами эти языки или делать выводы о границах применимости этих языков. Объектная природа восприятия и мышления конкретных наблюдателей, и что самое главное, текущее окружение и масштаб, делают эти языки ограниченными и отнюдь не универсальными.
Возможно, универсальных языков и общих свойств в природе и не существует. Тем более интересным и разнообразным выглядит процесс познания, с непреодолимыми тупиками, опровержениями и новыми прорывами. |
|
|
| "Логично" |
[Апр. 3, 2008|06:06 pm] |
Существующее в речи выражение "это логично" само по себе не логично. Логика есть язык, который описывает лишь малую долю взаимосвязей окружающего нас мира. Стоит нам подняться до масштабов макро- или опуститься до величин микро- мира и логика с некоторого этапа вообще перестаёт работать, перестаёт делать выводы, сопоставимые с результатами наблюдений.
Человеческие же языки ушли не намного дальше. Обладая несравнимо более сложной семантикой и синтаксисом, языки эти увы делают мышление своих носителей своими заложниками, не давая каждому из нас "увидеть" всю полноту взаимоотношений между событиями и объектами окружающего нас мира.
Мы не только заложники языка, но и заложники своих масштабов и царящих внутри этих масштабов законов. Заложники структуры своего мозга, вида и скорости восприятия, скорости мышления.
Однако эти ограничения нисколько не машают нам создавать другие системы, функционирующие в других масштабах, на других скоростях и мыслящих иными языками.
Логично :) ?
:wq |
|
|
| Beauty of complex functions |
[Янв. 25, 2008|12:52 pm] |
The complex numbers help to solve many engineering problems. They form a
superset of real numbers, an algebraical structure that has many useful
properties.
Each complex number is an ordered pair of real numbers. Complex
numbers are well supported by Python (and even natively), so that it
simplifies many computational tasks. In what follows we will see some really
exciting applications in the 2D Image Transformation.
A 2D digital image is an array of points, where each point has unique
2D coordinate and RGB color values p=(x,y,RGB)
Complex plane is a 2D coordinate system. Each pixel of a 2D digital image
is uniquely associated with a complex number z on the complex plane. For
example, if some p=(a,b,RGB) then it's ok to view some z=a+bj.
We could then apply a complex function f(z) for each z to get a new transformed
2D digital image. We just map each pixel with coordinate z onto coordinate w:
(a,b,RGB) -> (a',b',RGB)
This is our original image, w = z
Let's apply such function that will create reflection of each pixel about the real axis. This is so called conjugation of the complex number and it's defined as (a+bj) -> (a-bj). Python provides each member of the type complex with a function conjugate:
w = z.conjugate()
Ok. Let's try to rotate our original image. ( Read more... ) |
|
|
| Fractal + Cellular Automata |
[Дек. 10, 2007|06:40 pm] |
Я выложил на www.pygame.org два примера:
1) Fractal
Парой строк, используя комплексные числа:
def iteration(c):
i = 0
z = 0
mag = 0.0
while mag < 4.0 and i < max_iteration:
z = z**2 + c
mag = abs(z) # что аналогично z.imag*z.imag + z.real*z.real
i+=1
return i 
2)Cellular Automata
Простейший генератор клеточных автоматов, текстур и разных деревьев:
rule_110 = ((1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,0,0), (0,1,1,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (0,0,0,0))
rule_30 = ((1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (0,0,0,0))
def rule(left, center, right, rule_num):
for r in rule_num:
if left == r[0] and center == r[1] and right == r[2]:
return r[3]
print "ERROR in Rule"
sys.exit()
 |
|
|
| navigation |
| [ |
viewing |
| |
most recent entries |
] |
| |
|
|
![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small}
vadim_kataev